向量场可视化图解
1. 向量场的基本形式
均匀场
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
特点：每一点的向量大小和方向都相同 例子：均匀电场、匀速流动的河水
放射状场（有源场）
↗ ↑ ↖
→ ● ←
↘ ↓ ↙
特点：从一个中心点向外发散 散度：正（有源） 例子：点电荷的电场、太阳辐射
汇聚场（有汇场）
↖ ↑ ↗
← ● →
↙ ↓ ↘
特点：向一个中心点汇聚 散度：负（有汇） 例子：排水口的水流、引力场
旋转场
↗ ↑ ↖
→ ⊙ ←
↘ ↓ ↙
⊙ 表示垂直于纸面向外
特点：绕某点旋转 旋度：非零（垂直于旋转平面） 例子：涡旋、磁场环绕电流
2. 散度的直观理解
正散度（源）
想象一个气球，有人在往里打气：
↗ ↖
↗ ● ↖
↘ ↙
每一点都在"向外推" 数学：∇·F > 0
负散度（汇）
气球漏气：
↖ ↗
↖ ● ↗
↙ ↘
每一点都在"向内拉" 数学：∇·F < 0
零散度
水在管道中稳定流动：
→ → → → → →
→ → → → → →
→ → → → → →
流入=流出，没有积累 数学：∇·F = 0
3. 旋度的直观理解
非零散度（有旋场）
把一个小叶轮放在流水中：
↻ ↻ ↻ ↻ ↻
↻ ↻ ● ↻ ↻ ← 叶轮会旋转
↻ ↻ ↻ ↻ ↻
零散度（无旋场）
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
小叶轮只会平移，不会旋转
重要区分
流线弯曲 ≠ 有旋！
流线弯曲但无旋： 流线直但有旋：
╭────╮ → → → →
╱ ╲ ↑ ↓
│ ● │ ← 叶轮不转 ● ← 叶轮旋转
╲ ╱ ↓ ↑
╰────╯ → → → →
4. 梯度、散度、旋度的关系
梯度场（保守场）
高山 势能场
▲ ↑↑↑
╱│╲ ↑↑
╱ │ ╲ ↑
● ●
- 沿着最陡的方向走
- 旋度 = 0（无涡旋）
- 做功与路径无关
无源无旋场（调和场）
↗ ↑ ↖
→ ● ←
↘ ↓ ↙
- 散度 = 0（无源）
- 旋度 = 0（无旋）
- 满足拉普拉斯方程：∇²φ = 0
5. 定理的直观理解
高斯定理
┌─────────┐
│ ↗ ↖ │
│ → ● ← │
│ ↘ ↙ │
└─────────┘
边界上的总流出 = 内部所有源的总和
斯托克斯定理
╭────╮
╱ ↺ ╲
│ ↺ │
╲ ↺ ╱
╰────╯
边界上的环量 = 内部所有涡旋的总和
6. 计算示例详解
例1：计算散度
F = (x², y², z²)
∂P/∂x = 2x
∂Q/∂y = 2y
∂R/∂z = 2z
∇·F = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)
在点(1,1,1)：∇·F = 6 > 0 → 这是源点 在点(-1,-1,-1)：∇·F = -6 < 0 → 这是汇点 在平面x+y+z=0上：∇·F = 0 → 无源
例2：计算旋度
F = (-y, x, 0) （旋转场）
∇×F = | i j k |
| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |
| -y x 0 |
= i(0-0) - j(0-0) + k(1-(-1))
= (0, 0, 2)
旋度是(0,0,2)，表示绕z轴以强度2旋转。
7. 记忆口诀
散度（Divergence）： - D for "Diverge"（发散） - 点积：∇·F → 看有没有"点"冒出来
旋度（Curl）： - C for "Circle"（圆圈） - 叉积：∇×F → 叉就是交叉旋转
梯度（Gradient）： - G for "Growth"（增长） - 方向指向增长最快的地方
8. 常见错误
❌ 错误1：把流线弯曲等同于有旋 ✅ 正确：要看小叶轮是否自转
❌ 错误2：认为散度是向量 ✅ 正确：散度是标量（只有大小，没有方向）
❌ 错误3：认为旋度是标量 ✅ 正确：旋度是向量（有方向，表示旋转轴）
❌ 错误4：混淆 ∂P/∂x 和 ∂P/∂y ✅ 正确：散度是对自己方向求偏导相加